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渗流(下)

连结:渗流(上)

当我们在考虑地下水流动时,我们把地层当作一堆整齐排列的方格(称之为晶格)来处理。这虽然是很粗糙的想法,但晶格模型确实抓住了「隙缝是连接地层中相近的两个点」这个物理上的重点。换句话说,空间中距离很远的两个点,比如说地表及地下深处,是不应该有管道直接连接的。因此描述地层,晶格还算是说得通的。

然而并非所有介质总是像土壤这样固定不变。在流行病研究中,传播的介质是人。很显然的,用晶格来描述社会结构或人际关係,是一定行不通的。那幺我们该如何研究这类的系统呢?

在流行病爆发的研究中,除了複杂的人际关係网路之外,疾病的传染力,人体的免疫反应等等,许多因素都有影响。在此我们一样讨论一个最简单的模型,看看是否一样有相变这样有趣的现象。

我们假设社会中的每个人都由一个点来代表,两个人之间可以互相传染疾病的话,就用一条线将两个点连起来。这条线之于病原,就如同隙缝之于地下水一样,是可流通的路径。决定是否能传染是非常複杂的,最简单的模型,就是如同之前一样,假设对任意两个人,有机率 $$p$$ 是会互相传染的(路径存在),机率 $$(1-p)$$ 是不会传染的(路径不存在)。

假设我们有一个由 $$n$$ 个人组成的人际关係网路。其中,平均每个人可以传染(或者被传染)的人数则是 $$c=np$$。对任意一个人,我们定义 $$u$$ 为他没有处于网路中最大的传染通路中的机率。那幺,我们可以用一个自洽方程来计算 $$u$$:

$$u=(1-p+pu)^{n-1}$$

这个等式可以这样理解:对于某一个人甲,不属于最大通路的机率(等式左边)应该等于他没有和任何一个在最大通路上的人相联通的机率(等式右边)。这个机率可以这样计算:对于网路中其他 $$n-1$$ 个人,只能是没有与某甲相连(机率为 $$1-p$$),或者是相连但是自身不在最大通路中(机率为 $$pu$$)。用 $$p=\frac{c}{n}$$ 来代换并对两边取对数,这个方程式进一步可以写为:

$$\ln(n)=\displaystyle (n-1)\ln(1-\frac{c}{n}+\frac{c}{n}u)$$

当网路里有很多人 ($$n\gg 1$$) 的时候,通常会有 $$\frac{c}{n}\ll 1$$,我们进一步可以使用近似 $$n-1\approx n$$ 和近似 $$\ln(1-x)\approx -x$$

$$\ln(u)=\displaystyle n(\frac{-c}{n}+\frac{c}{n}u)=-c(1-u)$$

渗流(下)

图五 该方程式在 $$c>1$$ 时有两个解,其中一个小于 $$1$$。(本文作者林蔚廷绘)

我们注意到,这个方程在 $$c<1$$ 的时候只有一个解 $$u=1$$;当 $$c>1$$ 的时候有其它解(图五)。换言之,如果 $$c<1$$,社交网路中几乎没有人会处在最大的传染通路,即所有通路都远远小于 $$n$$(当 $$n$$ 很大时,这比例趋近于 $$0$$);相反,如果平均每个人都至少传染(或被传染)一个人 ($$c>1$$),那幺传染病就可以在大型社交网路中爆发(传染通路的大小和 $$n$$ 在一个量级)。

如果我们把最大的传染通路相对于总人数的比例,也就是任选一人在最大通路中的机率 $$1-u$$,对参数 $$c$$(每个人平均传染人数)作图(图六),我们就可明显看到在 $$c=1$$ 这个点,曲线有个明显的转折,代表爆发的开始。这个点就是这个模型的临界点。

渗流(下)

图六 网路模型中渗流机率与平均通路数 $$c$$ 的关係。(本文作者林蔚廷绘)

上面的讨论对于传染病的防疫有很重要的意义。注射疫苗可以有效地减少社交网络中的传染通路。但只有当注射疫苗达到一定程度,使平均传染人数小于临界点的值,才可以有效地防止大规模传染病的爆发。

从以上的讨论中我们可以看出,儘管地下水的流动与流行病传染是两种完全不同的现象,它们的某些巨观特徵却有相似之处。我们使用了非常简化的模型来探讨这些问题,但它们仍然都有着相变这一不寻常的现象。物理学上,相变往往与物理过程的细节无关,不同的系统可以有类似的相变。在这里我们也有一样的结果。

渗流这个过程不只可以用来描述以上两个现象。从化学上的聚合反应,到岩石的破裂、人体的免疫反应,处处都有渗流的存在。有人甚至拿它来解释技术创新的过程呢!一个简单的想法却能描述许多不同的现象,这正是渗流理论的有趣之处。


参考文献

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