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渗流(上)

地下水的流动,传染病的爆发,这两个乍看之下完全不同的现象,有什幺共通之处吗?如果我们细究其微观的机制,他们的确是完全不同的。地下水的流动显然与流体力学有关,传染病属于生物学与医学的领域。然而,如果我们只对某些重要的巨观特徵有兴趣,那幺这两个现象都可以由渗流理论 (percolation theory) 来描述。

让我们想想地下水是如何流动的。地层大致上是由大小不一的石块、土壤所组成的。无论具体的成份是什幺,他们都不是整齐划一地排列的。我们可以想像一堆大小不同的颗粒,毫无规则地堆在一起,地层大概就像这个样子(图一)。这些颗粒之间是有隙缝的,水可以在这些隙缝中流动。然而这些隙缝的分布是毫无规则的,你可以想像地底下如同有着一堆杂乱无章的水管。

渗流(上)

图一 地层结构示意图。(本文作者林蔚廷绘)

要想了解水在这堆水管中流动的细节是极端困难的,这是因为流体力学的方程式本身就很複杂,而这些水管的分布又是没有规则的。但是退一步来想,也许我们并不需要了解这些细节——我们不在乎水在某个隙缝中的流速是多少这样的问题。比较关键,也比较有趣的问题是,水是否能从一个地方流到另外一个地方。这样的问题有实际上的重要性,比如说,我们会想知道地表的水是否能流到地下水层中,使得地下水不至于枯竭。

类似的现象也发生在多孔材料 (porous medium) 中。这种材料中有许多孔洞,有些孔洞是相连接的。如果相连接的孔洞够多,就相当于有了通道,其中的液体就可经由这些通道流到另一个地方。在日常生活中,过滤式咖啡壶 (coffee percolator) 就利用了这样的过程,使沸腾的水通过咖啡粉中的隙缝渗流至壶中。早期的渗流理论研究者因此把这类现象称做 percolation。

想要研究这个过程,首先要知道这些「水管」或通道是如何分布的。然而无论是土壤还是咖啡粉的堆叠都是杂乱无章的,我们不可能知道精确的分布。但也正因为这个分布似乎相当随机,一个最简单的模型就是假设这些通道是完全随机分布的!事实上,我们将会看到,这幺简单的模型会有非常有趣的行为。

首先,我们想像用一些整齐排列的方格来划分地层(图二),地层中大小不一的颗粒可以佔据一个或多个格子。格子的边可以是「开放」的——代表可供水流通的隙缝;反之,则处于「闭塞」的状态。这些隙缝可以串联在一起,形成一条条的通路。如果存在一条联通了地层最上层和最下层的通路,那幺我们就说发生了渗流 (percolate),即是,水可以从表层的土壤流到地下的水层中。

渗流(上)

图二 方格模型示意图。(本文作者林蔚廷绘)

假设这些方格的每一条边,处在开放状态的机率都为 $$p$$。这就好像我们为每一条边掷一次硬币,用正反面决定它是开放的还是闭塞的。这里,我们随机选取一个 $$0$$ 到 $$1$$ 之间的数,如果这数小于 $$p$$,则代表这边是开放的,反之则是闭塞的(图三)。我们的问题是,给定距离很远的两个点,存在一条连接两点的通路的机率是多少呢?

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图三 电脑模拟 p=0.55 的结果,可见到大型的联通网路。(本文作者林蔚廷绘)

假设地层很大,则这个系统就约略具有平移对称性(亦即没有哪个点是特殊的),我们可以令其中的一点为原点。原来的问题就等价于,任意取某一点,该点与原点相联通的机率为何。这相当于问与原点相联通的的点佔了多少比例。这个机率或比例,称之为渗流机率 (percolation probability)。

图四所示,假设这些格子的数目非常大,当 $$p<\frac{1}{2}$$ 的时候,渗流机率几乎是 $$0$$!也就是说,只要 $$p<\frac{1}{2}$$,无论怎样提高 $$p$$ 的值(即使从 $$\frac{1}{30}$$ 上升到 $$\frac{1}{3}$$,提高 $$10$$ 倍),渗流机率并没有升高一点点。然而,当 $$p>\frac{1}{2}$$ 时,渗流机率会随 $$p$$ 的升高而显着上升。因此,我们称 $$p=\frac{1}{2}$$ 为此方格模型的渗流临界点。

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图四 渗流机率示意图。(本文作者林蔚廷绘)

临界点通常代表系统经历了相变 (phase transitions),也就是,系统的巨观状态在某个参数微弱改变的时候,发生了突然 的改变。我们最熟悉的例子就是水结成冰的过程。在标準大气压下,摄氏 0 度就是水相和冰相的临界点。在渗流理论中,临界点则是「不可流通」与「可流通」两种巨观状态的分界。要注意的是,即使对于最简单的渗流模型,如果我们换一种格子来代表土壤,临界点也会发生变化。

以上的讨论,表示当隙缝太过稀少时,水是不可能在地层中流动的。这样突然的转变,也存在其他的系统中。一个着名的例子,就是流行病的传染。想像现在社会上有某种传染病,一开始只有少数几个人感染。如果社会中人际关係过于紧密的话,病原很容易藉由人与人的接触而散播开来,进而爆发大流行。反过来说,如果人际关係不那幺紧密,感染就不容易爆发。我们将在文章的下半部分,讨论一个简单的流行病模型。

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参考文献

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